Chứng minh thuật toán phân rã LU

Quá trình chuyển hoá ma trận A ban đầu thành tích hai ma trân tam giác L.U dựa vào phép khử Gauss được thực hiện bằng các phép nhân ma trận. Thuật toán này được gọi là thuật toán Crout. Quá trình Crout bao gồm nhiều bước hồi quy. Nếu ma trận vuông A có cấp n ta cần n-1 bước. Thuật toán được thể hiện cụ thể như sau:


Thông qua n-1 bước hồi quy ta được A = L.U với L là ma trận tam giác dưới và U là ma trận tam giác trên.

Ví dụ minh hoạ:

Sử dụng thuật toán Crout phân rã các ma trận sau:

A = {{2, 3, 1, 5}, {6, 13, 5, 19}, {2, 19, 10, 23}, {4, 10, 11, 31}};
A = {{3, -1, 2, 1}, {3, -2, 2, 1}, {6, 1, -3, 2}, {9, 1, -1, -1}};
A = {{2, 1, 1, 2}, {2, 0, 2, 3}, {4, 1, 1, 2}, {8, 2, -2, 2}};
A = {{1, 1, 1, 2}, {2, 0, 5, 3}, {4, 4, 1, 2}, {8, 2, -4, 2}};
A = {{2, -1, 2, 1}, {2, -2, 2, 1}, {6, 1, -4, 2}, {4, 1, -1, 1}